1. 定义
基于概率分布$p$和$q$的交叉熵定义为：
\[H(p,q) = E_{p}[-log\ q] = H(p) + D_{KL}(p||q)\]| 其中 $H(p)$是$p$的熵， $D_{KL}(p | q)$是从 $p$到$q$的KL散度(也被称为p相对于q的相对熵)。 |
对于离散分布$p$和$q$，这意味着：
\[H(p,q) = \sum_{x}{p(x)\ log\ q(x)}\]$p$ 是信息的实际分布，而$q$则为错误分布。
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2. 信息量
首先是信息量。假设我们听到了两件事，分别如下：
事件A：巴西队进入了2018世界杯决赛圈。
事件B：中国队进入了2018世界杯决赛圈。
仅凭直觉来说，显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因，是因为事件A发生的概率很大，事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了，我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了，我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。
假设$X$是一个离散型随机变量，其取值集合为$\chi$,概率分布函数$p(x) = Pr(X\ =\ x),x∈\chi$,则定义事件$X=x0$的信息量为：
\[I(x_0)\ = -log(p(x_0))\]3. 熵
考虑另一个问题，对于某个事件，有$n$种可能性，每一种可能性都有一个概率$p(xi)$
这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子，假设你拿出了你的电脑，按下开关，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量
| 序号 | 事件 | 概率p | 信息量I |
|---|---|---|---|
| A | 电脑正常开机 | 0.7 | $-log(p(A))=0.36$ |
| B | 电脑无法开机 | 0.2 | $-log(p(B))=1.61$ |
| C | 电脑爆炸了 | 0.1 | $-log(p(C))=2.30$ |
我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：
\[H(X) = - \sum_{i=1}^{n}{p(x_i)\ log(p(x_i))}\]其中n代表所有的n种可能性，所以上面的问题结果就是：
\[H(X) =−[p(A)log(p(A))+p(B)log(p(B))+p(C))log(p(C))] \ = 0.7×0.36+0.2×1.61+0.1×2.30 = 0.804\]4. 相对熵（KL散度）
相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异
在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1]
直观的理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美。而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”，Q等价于P。
KL散度的计算公式：
\[D_{KL}{(p||q)} = \sum_{i=1}^{n}{p(x_i) log{\frac{p(x_i)}{q(x_i)}}}\]$n$为事件的所有可能性。
$D_{KL}$的值越小，表示$q$分布和$p$分布越接近
5. 交叉熵
对相对熵公式进行展开，得到：
\[D_{KL}{(p||q)} = \sum_{i=1}^{n}{p(x_i) log(p(x_i))} - \sum_{i=1}^{n}{p(x_i) log(q(x_i))} \ = -H(p(x)) + [- \sum_{i=1}^{n}{p(x_i)log(q(x_i))}]\]等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：
\[H(p,\ q) = - \sum_{i=1}^{n}{p(x_i)log(q(x_i))}\]| 在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即$D_{KL}(y | \hat y)$，由于KL散度中的前一部分$−H(y)$不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss，评估模型。 |
6. 估计
在大多数情况下，我们需要在不知道分布$p$的情况下计算其交叉熵。例如在语言模型中, 我们基于训练集 $T$创建了一个语言模型, 而在测试集合上通过其交叉熵来评估该模型的准确率。 $p$是语料中词汇的真实分布，而$q$是我们获得的语言模型预测的词汇分布。由于真实分布是未知的，我们不能直接计算交叉熵。在这种情况下，我们可以通过下式来估计交叉熵:
\[H(T,\ q) = - \sum_{i=1}^{N}{\frac{1}{N}\ log_{2}{q(x_{i})}}\]$N$是测试集大小， $q(x)$是在训练集上估计的事件 $x$发生的概率。我们假设训练集是从 $p(x)$的真实采样，则此方法获得的是真实交叉熵的蒙特卡洛估计。
7. 交叉熵在机器学习中的应用
7.1 交叉熵在单分类问题中的使用
这里的单类别是指，每一张图像样本只能有一个类别，比如只能是狗或只能是猫。
交叉熵在单分类问题上基本是标配的方法：
对应一个batch的loss就是:
\[loss = - \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}{y_{ji} log(\hat y_{ji})}\]7.2 交叉熵在多分类问题中的使用
这里的多类别是指，每一张图像样本可以有多个类别，比如同时包含一只猫和一只狗
和单分类问题的标签不同，多分类的标签是n-hot。
值得注意的是，这里的Pred不再是通过softmax计算的了，这里采用的是sigmoid。将每一个节点的输出归一化到[0,1]之间。所有Pred值的和也不再为1。换句话说，就是每一个Label都是独立分布的，相互之间没有影响。所以交叉熵在这里是单独对每一个节点进行计算，每一个节点只有两种可能值，所以是一个二项分布。前面说过对于二项分布这种特殊的分布，熵的计算可以进行简化。
同样的，交叉熵的计算也可以简化，即：
\[loss=−ylog(ŷ )−(1−y)log(1−ŷ )\]注意，上式只是针对一个节点的计算公式。这一点一定要和单分类loss区分开来。
例子中可以计算为：
单张样本的loss即为$loss=loss_猫+loss_蛙+loss_鼠$
每一个batch的loss就是：
式中m为当前batch中的样本量，n为类别数。